[數學]布雷特施奈德公式

[神原明野]

標題的布雷特施奈德（Bretschneider）公式，一般聽到可能不會知道這是什麼東西。

但如果你把它寫出來的話，會長成這樣：

\(A=\sqrt{(S-a)(S-b)(S-c)(S-d)-abcd\cdot\cos^{2}(\frac{\theta+\phi}{2})}\)

其中A為四邊形的面積，S為四邊形周長的一半，a、b、c、d分別為四邊形的四邊長，
\(\theta、\phi\)則為這個四邊形的任意一組對角
如果\(\theta、\phi\)這組對角互補(即\(\theta+\phi=\pi\))，這個四邊形的面積會有最大

而同時，若一個四邊形的對角互補，該四邊形之四個頂點會共圓，
a.k.a.這個四邊形為圓內接四邊形。
此時的公式會變成這樣：

\(A=\sqrt{(S-a)(S-b)(S-c)(S-d)}\)

其中這個公式由於和海倫公式非常相似，所以常被稱為大海倫公式。
　

給定一四邊形，已知邊長分別為a、b、c、d。試證當該四邊形面積最大時，任意一組對角必定互補。

pf.
設\(A為四邊形之面積(所求)、S=\frac{a+b+c+d}{2}、ab兩邊之夾角為\theta、cd兩邊之夾角為\phi\)

首先當一三角形確定兩邊一夾角，該三角形形狀及面積都確定。(SAS全等)
\(A=\frac{1}{2}ab\sin\theta+\frac{1}{2}cd\sin\phi\)
\(4A=2ab\sin\theta+2cd\sin\phi\)
\(16A^2=4a^2b^2\sin^2\theta+4c^2d^2\sin^2\phi+8abcd\sin\theta\sin\phi\)　①式

\(以及邊ab及夾角\theta展開的三角形之第三邊、和邊cd及夾角\phi展開的三角形之第三邊相等。\)(餘弦定理)
\(a^2+b^2-2ab\cos\theta=c^2+d^2-2cd\cos\phi\)
\(a^2+b^2-c^2-d^2=2ab\cos\theta-2cd\cos\phi\)
\((a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4a^2b^2\cos^2\theta+4c^2d^2\cos^2\phi-8abcd\cos\theta\cos\phi\)　②式

① + ②
式子的左邊照加\(16A^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2\)
式子的右邊：
\(4a^2b^2\sin^2\theta　和　4a^2b^2\cos^2\theta　可化簡變為4a^2b^2\)
\(4c^2d^2\sin^2\phi　和　4c^2d^2\cos^2\phi　可化簡變為4c^2d^2\)
\(8abcd\sin\theta\sin\phi　和　-8abcd\cos\theta\cos\phi　可化簡變為-8abcd\cos(\theta+\phi)\)

於是式子整理成這樣：

\(16A^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4a^2b^2+4c^2d^2-8abcd\cos(\theta+\phi)\)

\(16A^2=4a^2b^2+4c^2d^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2-8abcd\cos(\theta+\phi)\)

　　\(=4a^2b^2+4c^2d^2+8abcd-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2-8abcd\left [1+\cos(\theta+\phi)\right ]\)

　　\(=(2ab+2cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2-8abcd\left [2\cos^2(\frac{\theta+\phi}{2})\right ]\)　←\(\cos2x=2cos^2x-1\)

　　\(=(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2)-16abcd\cos^2(\frac{\theta+\phi}{2})\)　

　　\(=\left [(a+b)^2-(c-d)^2 \right ]\left [(c+d)^2-(a-b)^2 \right ]-16abcd\cos^2(\frac{\theta+\phi}{2})\)　

　　\(=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cos^2(\frac{\theta+\phi}{2})\)

　　\(=16(\frac{b+c+d-a}{2})(\frac{a+c+d-b}{2})(\frac{a+b+d-c}{2})(\frac{a+b+c-d}{2})-16abcd\cos^2(\frac{\theta+\phi}{2})\)

　　\(=16(\frac{a+b+c+d}{2}-a)(\frac{a+b+c+d}{2}-b)(\frac{a+b+c+d}{2}-c)(\frac{a+b+c+d}{2}-d)-16abcd\cos^2(\frac{\theta+\phi}{2})\)

\(A=\sqrt{(S-a)(S-b)(S-c)(S-d)-abcd\cos^2(\frac{\theta+\phi}{2})}\)

\(當A的面積有最大時，\cos^2(\frac{\theta+\phi}{2})=0，即\theta+\phi=\pi之時。\)　Q.E.D.

[狐鬼瀟湘]

這真是美麗的算式，也來分享雷同的海龍公式，名稱來源於亞力山卓的海龍（Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς）：

\(A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}，s=\displaystyle{\frac{周長}{2}}=\displaystyle{\frac{a+b+c}{2}}\)

在一千多年後，秦九韶以「三斜求積」之名記下完全等價的公式：

以小斜冪，並大斜冪，減中斜冪，餘半之，自乘於上；以小斜冪乘大斜冪，減上，餘四約之，為實；一為從隅，開平方得積。

以代數算式表現的話，即為：

\(A = \sqrt{\displaystyle{\frac{1}{4}}\left[a^2\cdot c^2-\left(\displaystyle{\frac{a^2+c^2-b^2}{2}}\right)^2\right]}，a、b、c\ 為同一三角形上邊長，且 a\geq b\geq c\)