懷念的微積分與 LaTeX

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#1 懷念的微積分與 LaTeX

文章 狐鬼瀟湘 » 2021年 11月 21日, 16:28

版上有人問起,真是令人懷念啊……
連著練習一陣子沒用的\(\LaTeX\),試著計算於下:


\(\begin{align}
\int \frac{x^3+4x^2+x-1}{x^3+x^2} dx&= \int \frac{(x^3+x^2)+(3x^2+x-1)}{x^3+x^2}dx \\
&= \int \left( \frac{x^3+x^2}{x^3+x^2} + \frac{3x^2+x-1}{x^3+x^2} \right)dx \\
&= \int \left( 1 + \frac{3x^2+x-1}{x^3+x^2} \right)dx \\
&= \int 1 dx + \int \left( \frac{3x^2+x-1}{x^3+x^2} \right)dx \\
&= \int 1 dx + \bbox[5px, border: 2px solid green]{\int \left[ \frac{3x^2+x-1}{x^2(x+1)} \right]dx}
\end{align}\)


題目要求「部分分式積分法」Partial fraction decomposition求解,將綠框部份挪出計算於下:

\(\begin{align}
\frac{3x^2+x-1}{x^3+x^2} &= \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x+1} \\
&=\frac{a \cdot x(x+1)}{x \cdot x(x+1)} + \frac{b \cdot (x+1)}{x^2 \cdot (x+1)} + \frac{c \cdot x^2}{(x+1) \cdot x^2} \\
&=\frac{ax^2 + ax + bx +b + cx^2}{x^3+x^2} \\
&\downarrow \\
3x^2+x-1&=(a+c)x^2+(a+b)x+b \\
&\downarrow \\
\begin{cases}a+c&=3\\
a+b&=1\\
b&=-1 \end{cases} &\rightarrow
\begin{cases}a&=2\\
b&=-1\\
c&=1 \end{cases}\\
&\downarrow \\
\frac{3x^2+x-1}{x^3+x^2} &= \bbox[5px, border: 2px solid rebeccapurple]{\frac{2}{x} + \frac{-1}{x^2} + \frac{1}{x+1}} \end{align}
\)


紫框部份帶回原始算式,得:

\(\begin{align}
\int \frac{x^3+4x^2+x-1}{x^3+x^2} dx&= \int 1 dx + \int \left( \frac{2}{x} + \frac{-1}{x^2} + \frac{1}{x+1} \right)dx\\
&= \int 1 dx + \int \frac{2}{x}dx + \int \frac{-1}{x^2} dx + \int \frac{1}{x+1} dx\\
&= x+ C + 2\ln{|x|} + \frac{1}{x} + \ln {|x+1|} \\
&=\bf{2\ln{|x|} + \ln {|x+1|} + x+ \frac{1}{x} + C} \end{align}\)


歡迎大家也在版上恣意揮灑數學之美。(?)
Omnia vanitas omnia licere.

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#2 Re: 懷念的微積分與 LaTeX

文章 煉乳 » 2021年 11月 22日, 20:27

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圖檔
經過調查後發現,我在綠色圈圈的多項式長除內上演ㄌ 1-0 =0的悲劇
圖一 第四行是錯的概念,勿信

不過開在娛樂趣聞,倒讓我想起這東西(?
圖檔
也謝各位大師指導

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#3 Re: 懷念的微積分與Latex

文章 神原明野 » 2022年 4月 20日, 22:08

既然瀟湘都推薦了,我就來試用一下這個玩意:
Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς 寫:請證明:△ABC的周長為2S,三邊長分別為a、b、c,△ABC的面積為\(\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}\)


△ABC = \(\frac{1}{2}bc\textrm{sin}\angle A\)

   = \(\frac{1}{2}bc\sqrt{1-\textrm{cos}^{2}\angle A}\)

   = \(\frac{1}{2}bc\sqrt{1-(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})^2}\) 餘弦定理:\(a^2=b^2+c^2-2bc\textrm{cos}\angle A\)

   = \(\frac{1}{2}bc\cdot\frac{1}{2bc}\sqrt{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}\)

   = \(\frac{1}{4}\sqrt{(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2)}\) 根號外約分,根號內\(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\)

   = \(\frac{1}{4}\sqrt{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}\) \((A\pm B)^2=A^2\pm2 AB+B^2\)

   = \(\frac{1}{4}\sqrt{(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)}\)

   = \(\sqrt{(\frac{b+c+a}{2})(\frac{b+c-a}{2})(\frac{a+b-c}{2})(\frac{a-b+c}{2})}\) \(2S=a+b+c a.k.a. S=\frac{a+b+c}{2}\) 代入

   = \(\sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{a+b+c-2a}{2})(\frac{a+b+c-2c}{2})(\frac{a+b+c-2b}{2})}\) = \(\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}\) Q.E.D.

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