標題的
但如果你把它寫出來的話,會長成這樣:
\(A=\sqrt{(S-a)(S-b)(S-c)(S-d)-abcd\cdot\cos^{2}(\frac{\theta+\phi}{2})}\)
其中A為四邊形的面積,S為四邊形周長的一半,a、b、c、d分別為四邊形的四邊長,
\(\theta、\phi\)則為這個四邊形的任意一組對角
如果\(\theta、\phi\)這組對角互補(即\(\theta+\phi=\pi\)),這個四邊形的面積會有最大
而同時,若一個四邊形的對角互補,該四邊形之四個頂點會共圓,
a.k.a.這個四邊形為圓內接四邊形。
此時的公式會變成這樣:
\(A=\sqrt{(S-a)(S-b)(S-c)(S-d)}\)
其中這個公式由於和海倫公式非常相似,所以常被稱為大海倫公式。
給定一四邊形,已知邊長分別為a、b、c、d。試證當該四邊形面積最大時,任意一組對角必定互補。
pf.
設\(A為四邊形之面積(所求)、S=\frac{a+b+c+d}{2}、ab兩邊之夾角為\theta、cd兩邊之夾角為\phi\)
首先當一三角形確定兩邊一夾角,該三角形形狀及面積都確定。(SAS全等)
\(A=\frac{1}{2}ab\sin\theta+\frac{1}{2}cd\sin\phi\)
\(4A=2ab\sin\theta+2cd\sin\phi\)
\(16A^2=4a^2b^2\sin^2\theta+4c^2d^2\sin^2\phi+8abcd\sin\theta\sin\phi\) ①式
\(以及邊ab及夾角\theta展開的三角形之第三邊、和邊cd及夾角\phi展開的三角形之第三邊相等。\)(餘弦定理)
\(a^2+b^2-2ab\cos\theta=c^2+d^2-2cd\cos\phi\)
\(a^2+b^2-c^2-d^2=2ab\cos\theta-2cd\cos\phi\)
\((a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4a^2b^2\cos^2\theta+4c^2d^2\cos^2\phi-8abcd\cos\theta\cos\phi\) ②式
① + ②
式子的左邊照加\(16A^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2\)
式子的右邊:
\(4a^2b^2\sin^2\theta 和 4a^2b^2\cos^2\theta 可化簡變為4a^2b^2\)
\(4c^2d^2\sin^2\phi 和 4c^2d^2\cos^2\phi 可化簡變為4c^2d^2\)
\(8abcd\sin\theta\sin\phi 和 -8abcd\cos\theta\cos\phi 可化簡變為-8abcd\cos(\theta+\phi)\)
於是式子整理成這樣:
\(16A^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4a^2b^2+4c^2d^2-8abcd\cos(\theta+\phi)\)
\(16A^2=4a^2b^2+4c^2d^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2-8abcd\cos(\theta+\phi)\)
\(=4a^2b^2+4c^2d^2+8abcd-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2-8abcd\left [1+\cos(\theta+\phi)\right ]\)
\(=(2ab+2cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2-8abcd\left [2\cos^2(\frac{\theta+\phi}{2})\right ]\) ←\(\cos2x=2cos^2x-1\)
\(=(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2)-16abcd\cos^2(\frac{\theta+\phi}{2})\)
\(=\left [(a+b)^2-(c-d)^2 \right ]\left [(c+d)^2-(a-b)^2 \right ]-16abcd\cos^2(\frac{\theta+\phi}{2})\)
\(=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cos^2(\frac{\theta+\phi}{2})\)
\(=16(\frac{b+c+d-a}{2})(\frac{a+c+d-b}{2})(\frac{a+b+d-c}{2})(\frac{a+b+c-d}{2})-16abcd\cos^2(\frac{\theta+\phi}{2})\)
\(=16(\frac{a+b+c+d}{2}-a)(\frac{a+b+c+d}{2}-b)(\frac{a+b+c+d}{2}-c)(\frac{a+b+c+d}{2}-d)-16abcd\cos^2(\frac{\theta+\phi}{2})\)
\(A=\sqrt{(S-a)(S-b)(S-c)(S-d)-abcd\cos^2(\frac{\theta+\phi}{2})}\)
\(當A的面積有最大時,\cos^2(\frac{\theta+\phi}{2})=0,即\theta+\phi=\pi之時。\) Q.E.D.